| 明清史 |
面东西日晷在清代的发展
邓可卉
【专题名称】明清史
【专 题 号】K24
【复印期号】1999年06期
【原文出处】《中国科技史料》(京)1999年01期第74～80页
【英文标题】THE DEVELOPMENT OF EAST- AND WEST-FACING DIALS IN THE QINGDYNASTY
Deng Kehui
Institute for History of Science, Inner MongoliaNormal University, Huhhot 010022
【作者简介】邓可卉，内蒙古师范大学科学史研究所，呼和浩特，010022
【关 键 词】中国/古代/计时器/面东西日晷/汇通中西east- and west- facing adjustable dial/Qi Yanhuai/Zhang Zuonan/mergence of Chinese astronomy wityWestern astronomy
中图法分类号 P111
明末清初西方传教士来华，带来了西方天文学。我国清代学者对传入的各种型式的日晷进行了吸收和再创造，形成了清代特有的丰富的日晷大家族。由此，作为传统天文计时仪器的日晷得到进一步发展。清代介绍西方日晷最早的文献是梅文鼎的《日晷备考》一书，可惜这本书未曾刊印；雍正元年（1723年）刊刻的梅文鼎著《数理精蕴》卷四十《比例规解·画日晷法》[1]一节，介绍了几种新型日晷， 其中包括面东西日晷晷面的详细作图方法。嘉庆十三年（1808年）刊徐朝俊著《日晷测时图法》一书中，介绍了晷面时刻线的几何画法。嘉庆二十一年（1816年），刘衡作《尺算日晷新仪》，以问答方式介绍了日晷作法原理，前几年有学者对此进行了专题研究[2]， 但没有涉及具体日晷的作图法及形制。
值得一提的是清代天文学家齐彦槐于嘉庆二十四年（1819年）实际制作的一具面东西日晷。其具体作法详载于张作楠于1820年著的《揣籥小录》中，此书末尾有：“此齐梅麓所制也，其法遵御制《数理精蕴》作横表面东西日晷法。”他强调，齐彦槐所制面东西日晷能随纬度不同进行调节，是其创新之处。为了配合完成面东西日晷的作图法，此书还附有“北极经纬度分全表”、“各时刻正切线表”、“各节气距纬正切线表”。现存实物是由张作楠制，藏于常州博物馆。近来有学者对齐彦槐及所制天文仪器研究中，涉及到面东西日晷，但对其晷面作图方法没有详细介绍，也未涉及其所受西学的影响[3]，此外， 还未见其它有关研究结果。本文从面东西日晷所受西学影响的角度详细讨论它的作法渊源，对探讨在中西天文学交流背景下清代日晷的发展具有重要意义。
1 面东西日晷制作原理
面东西日晷面朝东西立在地面，又称立晷，或斜晷，由晷盘、铜垂线、表针、底座4部分组成。图1为齐彦槐所制斜晷，晷盘周边标有刻度，可移动，以适合观测地的地理纬度，且东西两面皆有刻度，故齐彦槐的立晷，又称面东西活晷。现存实物由张作楠制，不具备这一优点，只适合当时的某一地点，故也不具备实用价值了。
图1 齐彦槐的斜晷
1.1 随纬度可调节的原理
图2是地理纬度为φ的地方的天球图。可证
＝φ。 齐彦槐的面东西活晷图正取自图2的第四象限部分。把 OZ'换成一铜垂线，如果地理纬度不同，只须转动晷盘，使
等于所要求地理纬度，即可开始观测。
图2 纬度为φ处的天球示意图
如北极出地为40度（图3），则先作甲乙直表与晷面成直角， 次在晷面上作甲丙垂线与甲丁横线成直角，次以甲为心作甲丙丁象限弧，自丙起数至本方北极出地度止，自甲心作斜直线，如甲戌，即赤道线。
图3 晷面与表针示意图
1.2 面东西日晷作时刻线法
太阳周日视运动轨迹和赤道平行，故对表针来说，不同时刻投影在赤道线上的表影（正切线）位置不同。在《数理精蕴》卷四十《比例规解》中记：“以甲乙表长为半径，用比例尺正切线比得十五度、三十度、四十五度、六十度、七十五度之各切线，于赤道线上作识，按识作十字线，即成时刻线也。”《揣籥小录》中也有类似记录。
这里的“比例尺正切线”中的正切线，相当于明代末期传入中国的割圆八线中的一线。所谓比例尺，是西方传入的一种算器，有记载曰：“比例尺代算，凡点线面体乘除开方皆可以规度而得。然于画图制器尤所必须。诚算器之至善者焉。究其立法之原，总不越乎同式三角形之比例。盖同式三角形，其各角各边皆为相当之率。”[4]讲得很清楚。 究其原理，各时刻正切线x＝R·tgα。这里的α相当于各时刻距卯正之夹角，R是甲乙表长。所谓比例尺正切线，即是把各时刻的正切线x依次刻在比例规上以便使用。如不用比例规，可直接查《各时刻正切线表》。然后，按各时刻正切线的长度依次在赤道线上作标志，并过这一标志作垂直于赤道线的横线，即为各时刻线。
中国古代以十二地支记时，每时又分初、正两刻，共24刻，360 °。这样，卯正日出正东，与表对射，夹角为0，故无影，也即无切线。 所以卯正的时刻线，就是过表针与赤道线垂直的十字横线。辰初与卯正相距15°，辰正、巳初、巳正、午初，依次距卯正为30°、45°、60°、75°等等，其时刻线依次距表针的长度按x＝R·tgα依次求得。午正距卯正90°，切线与割线平行，故无切线，即无影，所以午正的时刻线在无限远处，在晷面上无法作出。西面日晷同理。由于日影的连续性，得到：
面东日晷由上而下各时刻线依次为：卯正、辰初、辰正、巳初、巳正、午初。
面西日晷由下而上各时刻线依次为“未初、未正、申初、申正、酉初、酉正。
1.3 面东西日晷作节气线法
《数理精蕴》卷四十《画日晷法》关于“向东壁上立面日晷画节气线法”有：
“法以乙表端至卯初（应为卯正，以下皆同）点相距之度为半径，用比例尺正切线比得二十三度三十分、二十二度四十分、二十度十二分、十六度二十三分、十一度三十分、五度五十五分之各切线于卯初线左右作识，即得各节气日影界。”
《揣籥小录》中对同样内容记有：
“法以表长为半径，用分厘尺按各节气距纬正切线于卯正横线上左右作识，即卯正各节气日影界。”
两段文字对照，发现“各节气距纬”就是各节气太阳的赤纬，如春秋分赤纬为0°，冬夏至赤纬分别为赤道南北23°30′， 小寒大雪距赤道南，芒种小暑距赤道北各22°40′，大寒小雪距赤道南，小满大暑距赤道北各20°12′，……。故卯正各节气日影界距卯正在赤道线上投影点的距离x＝R·tgδ[,θ]，这里δ[,θ]为不同节气时太阳的赤纬，R为表长。
对各时刻节气线，“俱以乙表端至各时刻点相距之度为半径，比得各节气距纬度之切线，于各时刻线左右作识，即得各时刻各节气之日影界。”“将各点作线联之，即成节气线也”[1]。
在前面作时刻线时只涉及到一个半径——表长，而这里涉及到了若干个半径——“乙表端至各时刻点相距之度”，对不同的半径，取不同的正切，不同时刻各节气线就有不同的x。就是说在x＝R·tgδ[,θ]中，既有R的变化，又有δ[,θ]的变化。这里仍旧用到了比例尺或分厘尺，同样的内容，附于“各节气距纬正切线表”[5]中，亦可查表得到。
进一步研究发现，在作节气线时利用了三维立体几何知识。 如图4，面东日晷的晷面假设为I面，晷针为AB，BH为赤道，则B、D、E、F、G、H为卯正、辰初、辰正、巳初、巳正、午初各时刻点。 按照作节气线法，B[,1]、B[,2]……为卯正各节气点，BB[,1]、BB[,2]、BB[,3]……即卯正时距纬正切线，半径为表长AB；依次，D[,1]、D[,2]……为辰初各节气点，DD[,1]、DD[,2]、DD[,3]……为辰初各节气距纬正切线，这时的半径为AD；E[,1]、E[,2]、E[,3]……为辰正各节气点，EE[,1]、EE[,2]、EE[,3]……为辰正各节气距纬正切线，这时的半径为AE，……。在作各节气距纬正切线时分别以不同半径作了若干个圆，这些圆都不与I共面。
面东西日晷上的节气线，实际是不同日期太阳周年视运动在子午面（各时刻线）上的投影的连线。从春分到秋分，日在赤道以北，故影在赤道以南；从秋分到春分，日在赤道以南，故影在赤道以北。东面顺旋，依次为从冬至经春分到夏至；西面逆旋，依次为从夏至经秋分到冬至。
图4 面东西日晷作法示意图
2 面东西日晷的使用方法
面东西日晷的底座设有螺旋装置，故在使用时，首先要调整螺旋装置，使底座保持水平，从而使整个晷体稳定、平置。
晷盘边缘的刻度线和悬挂的铜垂线要配合使用，主要用于确定极高，或者说确定使用面东西日晷所在地的地理纬度。因为晷盘在立面内可以左右旋转，故这种日晷可以用于不同的观测地点。只要转动晷盘，使其从铜垂线起，到赤道线的角度恰好等于观测地地理纬度，即可开始观测了。
面东西日晷的表针垂直于晷面，晷体面朝东西，且东西两面各有一针。利用表针所投射的影位，可以用它来测时或节气，表针端点的影位指到哪个时刻线，即为当日的哪个时刻，对东面来说，卯正和午正时刻，因针端无影，这时需结合实际情况进行判断，以示分别；西面反之亦然。对节气线来说，表针端点的影位从早到晚几乎没有离开此节气线，这日就是该节气。因为一年有24个节气，故表影在节气线间的移动，在一两天之内几乎看不出来，大约每过半个月左右针端影位正好落在相邻节气线上。
由于面东西日晷的晷面时线刻画较细，又能随纬度不同进行调节，所以用它来测得的时间和节气比以前利用中国传统的日晷所得结果更加准确。另外，齐彦槐的面东西日晷所占体积不大，便于携带，能随处使用，也是其优点之一。
在《揣籥小录》开头有一句话写道：“观象授时首重仪器，而度景知时，以前民用一晷其一也，顾指南针所指非子午真线，唯《数理精蕴》作立面平面日晷诸法，测验精确，超绝前人，近时多有仿制者。”由此可以看出，面东西日晷还有另外一个作用，就是确定正南北方向。对面东西日晷来说，在测时之前，它的放置方向是未确定的。笔者认为，为了确定正南北（或东西）方向，可以逆推。即已知当日节气，使针端影位与当日节气线相切，就可以确定晷面的准确朝向了，南北方向亦可知。这时再用它来测时，岂不更加准确！如果要进一步测定节气，结果也会更好。
可见面东西日晷的使用方法不是唯一的，而后一种结论似乎更切合实际。需要提及，现存常州博物馆的面东西日晷，由于它不能随纬度调节，已不具备实用价值了。
3 西学的影响
中国日晷所受西方天文学的影响在前一个问题中时有涉及，这里进一步探讨其源渊。
日晷不独在中国历史悠久，在欧洲亦然。在柏林博物馆存有一块石头断片，据认为是最早的日晷，约属公元前1500年之物。《圣经》提到了那个时代的一些权威，热衷于拥有一具日晷，这大约在公元前700 年，是朱丹王国的阿哈兹年代，故又名之为Ahaz日晷。过了1世纪， 希腊哲学家和天文学家阿那克西曼德（Anaximander）把日晷介绍到希腊。 公元前450年，住在希腊亚细亚小修道院的希罗多德（Herodotus）说过：“希腊人从巴比伦人那里学到了北极星、圭表和把一天分为12段的知识。”李约瑟（J.Needham ）认为：“它（指日晷）在巴比伦贝罗索斯时代——公元前3世纪大概已经不是新奇的东西了。”[6]公元前200 年日晷在罗马已相当流行。直到中世纪许多英国教堂的墙上，原始的石板日晷直接嵌于石壁上。13世纪人们仍能看到日晷计时系统。实际上钟表发明后相当长的时间里日晷仍在使用，因为早期的钟精确度差，需要经常用日晷来修改和校正。欧洲日晷后来发展成一个庞大的家族，不同类型有十几种。
在1973年出版的由阿尔伯特·沃兹（Alberte Wauth ）著的《日晷的理论和构造》（Sundials: Their Theory and Construction ）一书中就载有16种不同类型和用途的日晷，其中有面东西日晷、面南（北）日晷、极晷等等，不一而足。面东西日晷如图5[7]。它的作图方法沿用了1773年伦敦出版的著名的一本书（Charles leadbetter, MechanickDialling, London: Caslon, 1773）中的作法。图5各点、 线已给标注，时刻线的作法利用表1（已由笔者译成汉文）中各项数据。 面东西日晷的晷面固定在建筑物的东西两面。
图5 欧洲面东日晷作图法
由此看来，西方面东西日晷作图法用到了时角的正切，最早给出这种作图法的，据前面说明为1773年。欧洲三角学发展成一门独立的学科大约在16世纪中叶，此时6种常用三角函数已不陌生。 正式介绍到中国来的三角学，是瑞士传教士邓玉函（Jean Terrenz, 1576～1630）撰《大测》二卷，书中用圆上与一个角有关的八条线段来定义不同的三角函数。兹不赘述。另外，西方其它介绍日晷的书中也有类似作法[8]。
表1 面东西日晷时刻线的计算
4 中国学者汇通中西的工作
在《揣籥小录·面东西日晷作节气线法》中有：“法以表长为半径，用分厘尺（或用比例尺）按各节气距纬正切线于卯正横线上左右作识，……”这里提到分厘尺，且原作者认为其功能等同于比例尺（在《数理精蕴》中所用为比例规）。稍后，又有《作分厘尺法》：“按《几何原本》作分厘尺法，如甲戊尺三寸，每寸欲分百厘，则将甲乙与戊己边平分为十分作诸横线，次将一寸之甲辛乙丙两边俱分为十分，再于……”，后又加按：“己卯夏江云樵为齐梅麓制比例规及对数诸尺悟得此法，实足补西儒所未备，因附录于此。”[5]
《几何原本》前6卷系明末传入中国，由徐光启翻译，后6卷由晚清学者李善兰翻译，对我国明清学术发展产生了重要影响。比例规是伽利略（Galileo Galilei,1564～1642）在1597 年左右发明的一种算器， 1630年罗雅谷（Jacques Rho, 1593～1638）在《比例规解》（1630 年）中将其用法正式介绍到中国，该书被收入《崇祯历书》中。梅文鼎对其作了改进，他的这些工作汇通中西，取得较多成就，产生了重要影响。由此看来，比例规、分厘尺以及一些空间几何概念都是面东西日晷作图中所用到的知识，且它们在传入中国以后，都已深深地刻上了中国学者再创造的烙印。
谈及中国学者的工作，我们可以更深入一些。在欧洲面东西日晷的各种图或记载中，只依据正切线作了各时刻线，这不难理解，二十四节气始自中国，所以在清代制造的面东西日晷上，不仅有时刻线，而且还有节气线的画法。后一部分内容完全是中国学者的独创，且其难度远远超过了“作时刻线法”。
在《揣籥小录》开始写有：“如无比例尺及八线表，亦可以图量之，法以表长为半径，……，各取其数于纸上作点，与前式同。此法不须检表，不用分厘尺，更简妙。”齐彦槐所给方法可以不用比例规与八线表。由此，《揣籥小录》给出作节气线的方法有3 种：一是用比例规与八线表在图上比得对应半径的各正切线之长；二是直接查所给“各节气距纬正切线表”即可；三是以不同半径作出的割圆八线一一对应比得所求切线长。这些方法中，很难具体区分出哪些部分是西方天文学或数学的内容，而汇通中西的特点显得尤为突出。另外，关于记时制度，清代面东西日晷带有明显的中国特色。
面东西日晷源于西方，历史较长，正式记录始自1773年，其制作方法用了三角学及比例规等知识。明末清初随着传教士来华，面东西日晷在中国开始发展。天文、数学方面相关著作有《崇祯历书》、《大测》、《数理精蕴》、《揣籥小录》等。以梅文鼎《数理精蕴》中汇通中西的工作为基础，齐彦槐的工作具有总结意义，他实际制作了一具可随纬度调节的面东西活晷。此晷虽是原由西方传入。但中国学者加进了自己的创造，因此和西方的差异甚远。一件天文仪器的发展，成为明清时期汇通中西的历史见证。
【专 题 号】K24
【复印期号】1999年06期
【原文出处】《中国科技史料》(京)1999年01期第74～80页
【英文标题】THE DEVELOPMENT OF EAST- AND WEST-FACING DIALS IN THE QINGDYNASTY
Deng Kehui
Institute for History of Science, Inner MongoliaNormal University, Huhhot 010022
【作者简介】邓可卉，内蒙古师范大学科学史研究所，呼和浩特，010022
| 【内容提要】 | 面东西日晷是清代发展起来的一种天文计时仪器。梅文鼎在《数理精蕴》中详细介绍了其作图方法，近一百年之后，清代天文学家齐彦槐实际制作了一具面东西活晷。该文根据张作楠著《揣籥小录》（1820年）中所介绍的齐彦槐的面东西活晷，详细论述了它的制作原理及使用方法，并进一步探讨了它的来源——西方天文学的影响，认为清代出现的面东西日晷是在汇通中西基础上创造完成的。 Developed in the Qing Dynasty, the east- and west- facingadjustable dial was first made by the Qing astromer Qi Yanhuai. This paper discusses in detail the principle of making andmethod of use of Qi Yanhuai's adjustable dial introduced inZhang Zuonan's Chuai Yue Xiao Lu. Inquiring further into itsorigin under the influence of Western astronomy, the paperconcludes that the east- and west-facing dial was a productof the mergence of Chinese astronomy with Western astronomy. |
明末清初西方传教士来华，带来了西方天文学。我国清代学者对传入的各种型式的日晷进行了吸收和再创造，形成了清代特有的丰富的日晷大家族。由此，作为传统天文计时仪器的日晷得到进一步发展。清代介绍西方日晷最早的文献是梅文鼎的《日晷备考》一书，可惜这本书未曾刊印；雍正元年（1723年）刊刻的梅文鼎著《数理精蕴》卷四十《比例规解·画日晷法》[1]一节，介绍了几种新型日晷， 其中包括面东西日晷晷面的详细作图方法。嘉庆十三年（1808年）刊徐朝俊著《日晷测时图法》一书中，介绍了晷面时刻线的几何画法。嘉庆二十一年（1816年），刘衡作《尺算日晷新仪》，以问答方式介绍了日晷作法原理，前几年有学者对此进行了专题研究[2]， 但没有涉及具体日晷的作图法及形制。
值得一提的是清代天文学家齐彦槐于嘉庆二十四年（1819年）实际制作的一具面东西日晷。其具体作法详载于张作楠于1820年著的《揣籥小录》中，此书末尾有：“此齐梅麓所制也，其法遵御制《数理精蕴》作横表面东西日晷法。”他强调，齐彦槐所制面东西日晷能随纬度不同进行调节，是其创新之处。为了配合完成面东西日晷的作图法，此书还附有“北极经纬度分全表”、“各时刻正切线表”、“各节气距纬正切线表”。现存实物是由张作楠制，藏于常州博物馆。近来有学者对齐彦槐及所制天文仪器研究中，涉及到面东西日晷，但对其晷面作图方法没有详细介绍，也未涉及其所受西学的影响[3]，此外， 还未见其它有关研究结果。本文从面东西日晷所受西学影响的角度详细讨论它的作法渊源，对探讨在中西天文学交流背景下清代日晷的发展具有重要意义。
1 面东西日晷制作原理
面东西日晷面朝东西立在地面，又称立晷，或斜晷，由晷盘、铜垂线、表针、底座4部分组成。图1为齐彦槐所制斜晷，晷盘周边标有刻度，可移动，以适合观测地的地理纬度，且东西两面皆有刻度，故齐彦槐的立晷，又称面东西活晷。现存实物由张作楠制，不具备这一优点，只适合当时的某一地点，故也不具备实用价值了。
图1 齐彦槐的斜晷
1.1 随纬度可调节的原理
图2是地理纬度为φ的地方的天球图。可证
＝φ。 齐彦槐的面东西活晷图正取自图2的第四象限部分。把 OZ'换成一铜垂线，如果地理纬度不同，只须转动晷盘，使
等于所要求地理纬度，即可开始观测。
图2 纬度为φ处的天球示意图
如北极出地为40度（图3），则先作甲乙直表与晷面成直角， 次在晷面上作甲丙垂线与甲丁横线成直角，次以甲为心作甲丙丁象限弧，自丙起数至本方北极出地度止，自甲心作斜直线，如甲戌，即赤道线。
图3 晷面与表针示意图
1.2 面东西日晷作时刻线法
太阳周日视运动轨迹和赤道平行，故对表针来说，不同时刻投影在赤道线上的表影（正切线）位置不同。在《数理精蕴》卷四十《比例规解》中记：“以甲乙表长为半径，用比例尺正切线比得十五度、三十度、四十五度、六十度、七十五度之各切线，于赤道线上作识，按识作十字线，即成时刻线也。”《揣籥小录》中也有类似记录。
这里的“比例尺正切线”中的正切线，相当于明代末期传入中国的割圆八线中的一线。所谓比例尺，是西方传入的一种算器，有记载曰：“比例尺代算，凡点线面体乘除开方皆可以规度而得。然于画图制器尤所必须。诚算器之至善者焉。究其立法之原，总不越乎同式三角形之比例。盖同式三角形，其各角各边皆为相当之率。”[4]讲得很清楚。 究其原理，各时刻正切线x＝R·tgα。这里的α相当于各时刻距卯正之夹角，R是甲乙表长。所谓比例尺正切线，即是把各时刻的正切线x依次刻在比例规上以便使用。如不用比例规，可直接查《各时刻正切线表》。然后，按各时刻正切线的长度依次在赤道线上作标志，并过这一标志作垂直于赤道线的横线，即为各时刻线。
中国古代以十二地支记时，每时又分初、正两刻，共24刻，360 °。这样，卯正日出正东，与表对射，夹角为0，故无影，也即无切线。 所以卯正的时刻线，就是过表针与赤道线垂直的十字横线。辰初与卯正相距15°，辰正、巳初、巳正、午初，依次距卯正为30°、45°、60°、75°等等，其时刻线依次距表针的长度按x＝R·tgα依次求得。午正距卯正90°，切线与割线平行，故无切线，即无影，所以午正的时刻线在无限远处，在晷面上无法作出。西面日晷同理。由于日影的连续性，得到：
面东日晷由上而下各时刻线依次为：卯正、辰初、辰正、巳初、巳正、午初。
面西日晷由下而上各时刻线依次为“未初、未正、申初、申正、酉初、酉正。
1.3 面东西日晷作节气线法
《数理精蕴》卷四十《画日晷法》关于“向东壁上立面日晷画节气线法”有：
“法以乙表端至卯初（应为卯正，以下皆同）点相距之度为半径，用比例尺正切线比得二十三度三十分、二十二度四十分、二十度十二分、十六度二十三分、十一度三十分、五度五十五分之各切线于卯初线左右作识，即得各节气日影界。”
《揣籥小录》中对同样内容记有：
“法以表长为半径，用分厘尺按各节气距纬正切线于卯正横线上左右作识，即卯正各节气日影界。”
两段文字对照，发现“各节气距纬”就是各节气太阳的赤纬，如春秋分赤纬为0°，冬夏至赤纬分别为赤道南北23°30′， 小寒大雪距赤道南，芒种小暑距赤道北各22°40′，大寒小雪距赤道南，小满大暑距赤道北各20°12′，……。故卯正各节气日影界距卯正在赤道线上投影点的距离x＝R·tgδ[,θ]，这里δ[,θ]为不同节气时太阳的赤纬，R为表长。
对各时刻节气线，“俱以乙表端至各时刻点相距之度为半径，比得各节气距纬度之切线，于各时刻线左右作识，即得各时刻各节气之日影界。”“将各点作线联之，即成节气线也”[1]。
在前面作时刻线时只涉及到一个半径——表长，而这里涉及到了若干个半径——“乙表端至各时刻点相距之度”，对不同的半径，取不同的正切，不同时刻各节气线就有不同的x。就是说在x＝R·tgδ[,θ]中，既有R的变化，又有δ[,θ]的变化。这里仍旧用到了比例尺或分厘尺，同样的内容，附于“各节气距纬正切线表”[5]中，亦可查表得到。
进一步研究发现，在作节气线时利用了三维立体几何知识。 如图4，面东日晷的晷面假设为I面，晷针为AB，BH为赤道，则B、D、E、F、G、H为卯正、辰初、辰正、巳初、巳正、午初各时刻点。 按照作节气线法，B[,1]、B[,2]……为卯正各节气点，BB[,1]、BB[,2]、BB[,3]……即卯正时距纬正切线，半径为表长AB；依次，D[,1]、D[,2]……为辰初各节气点，DD[,1]、DD[,2]、DD[,3]……为辰初各节气距纬正切线，这时的半径为AD；E[,1]、E[,2]、E[,3]……为辰正各节气点，EE[,1]、EE[,2]、EE[,3]……为辰正各节气距纬正切线，这时的半径为AE，……。在作各节气距纬正切线时分别以不同半径作了若干个圆，这些圆都不与I共面。
面东西日晷上的节气线，实际是不同日期太阳周年视运动在子午面（各时刻线）上的投影的连线。从春分到秋分，日在赤道以北，故影在赤道以南；从秋分到春分，日在赤道以南，故影在赤道以北。东面顺旋，依次为从冬至经春分到夏至；西面逆旋，依次为从夏至经秋分到冬至。
图4 面东西日晷作法示意图
2 面东西日晷的使用方法
面东西日晷的底座设有螺旋装置，故在使用时，首先要调整螺旋装置，使底座保持水平，从而使整个晷体稳定、平置。
晷盘边缘的刻度线和悬挂的铜垂线要配合使用，主要用于确定极高，或者说确定使用面东西日晷所在地的地理纬度。因为晷盘在立面内可以左右旋转，故这种日晷可以用于不同的观测地点。只要转动晷盘，使其从铜垂线起，到赤道线的角度恰好等于观测地地理纬度，即可开始观测了。
面东西日晷的表针垂直于晷面，晷体面朝东西，且东西两面各有一针。利用表针所投射的影位，可以用它来测时或节气，表针端点的影位指到哪个时刻线，即为当日的哪个时刻，对东面来说，卯正和午正时刻，因针端无影，这时需结合实际情况进行判断，以示分别；西面反之亦然。对节气线来说，表针端点的影位从早到晚几乎没有离开此节气线，这日就是该节气。因为一年有24个节气，故表影在节气线间的移动，在一两天之内几乎看不出来，大约每过半个月左右针端影位正好落在相邻节气线上。
由于面东西日晷的晷面时线刻画较细，又能随纬度不同进行调节，所以用它来测得的时间和节气比以前利用中国传统的日晷所得结果更加准确。另外，齐彦槐的面东西日晷所占体积不大，便于携带，能随处使用，也是其优点之一。
在《揣籥小录》开头有一句话写道：“观象授时首重仪器，而度景知时，以前民用一晷其一也，顾指南针所指非子午真线，唯《数理精蕴》作立面平面日晷诸法，测验精确，超绝前人，近时多有仿制者。”由此可以看出，面东西日晷还有另外一个作用，就是确定正南北方向。对面东西日晷来说，在测时之前，它的放置方向是未确定的。笔者认为，为了确定正南北（或东西）方向，可以逆推。即已知当日节气，使针端影位与当日节气线相切，就可以确定晷面的准确朝向了，南北方向亦可知。这时再用它来测时，岂不更加准确！如果要进一步测定节气，结果也会更好。
可见面东西日晷的使用方法不是唯一的，而后一种结论似乎更切合实际。需要提及，现存常州博物馆的面东西日晷，由于它不能随纬度调节，已不具备实用价值了。
3 西学的影响
中国日晷所受西方天文学的影响在前一个问题中时有涉及，这里进一步探讨其源渊。
日晷不独在中国历史悠久，在欧洲亦然。在柏林博物馆存有一块石头断片，据认为是最早的日晷，约属公元前1500年之物。《圣经》提到了那个时代的一些权威，热衷于拥有一具日晷，这大约在公元前700 年，是朱丹王国的阿哈兹年代，故又名之为Ahaz日晷。过了1世纪， 希腊哲学家和天文学家阿那克西曼德（Anaximander）把日晷介绍到希腊。 公元前450年，住在希腊亚细亚小修道院的希罗多德（Herodotus）说过：“希腊人从巴比伦人那里学到了北极星、圭表和把一天分为12段的知识。”李约瑟（J.Needham ）认为：“它（指日晷）在巴比伦贝罗索斯时代——公元前3世纪大概已经不是新奇的东西了。”[6]公元前200 年日晷在罗马已相当流行。直到中世纪许多英国教堂的墙上，原始的石板日晷直接嵌于石壁上。13世纪人们仍能看到日晷计时系统。实际上钟表发明后相当长的时间里日晷仍在使用，因为早期的钟精确度差，需要经常用日晷来修改和校正。欧洲日晷后来发展成一个庞大的家族，不同类型有十几种。
在1973年出版的由阿尔伯特·沃兹（Alberte Wauth ）著的《日晷的理论和构造》（Sundials: Their Theory and Construction ）一书中就载有16种不同类型和用途的日晷，其中有面东西日晷、面南（北）日晷、极晷等等，不一而足。面东西日晷如图5[7]。它的作图方法沿用了1773年伦敦出版的著名的一本书（Charles leadbetter, MechanickDialling, London: Caslon, 1773）中的作法。图5各点、 线已给标注，时刻线的作法利用表1（已由笔者译成汉文）中各项数据。 面东西日晷的晷面固定在建筑物的东西两面。
图5 欧洲面东日晷作图法
由此看来，西方面东西日晷作图法用到了时角的正切，最早给出这种作图法的，据前面说明为1773年。欧洲三角学发展成一门独立的学科大约在16世纪中叶，此时6种常用三角函数已不陌生。 正式介绍到中国来的三角学，是瑞士传教士邓玉函（Jean Terrenz, 1576～1630）撰《大测》二卷，书中用圆上与一个角有关的八条线段来定义不同的三角函数。兹不赘述。另外，西方其它介绍日晷的书中也有类似作法[8]。
表1 面东西日晷时刻线的计算
时 间 时 角 时角的正切 晷面上的距离(英寸) 6 0°00′ 0.000 0.000 5和7 15°00′ 0.268 0.871 4和8 30°00′ 0.577 1.875 3和9 45°00′ 1.000 3.250 2和10 60°00′ 1.732 5.629 1和11 75°00′ 3.732 12.129 |
4 中国学者汇通中西的工作
在《揣籥小录·面东西日晷作节气线法》中有：“法以表长为半径，用分厘尺（或用比例尺）按各节气距纬正切线于卯正横线上左右作识，……”这里提到分厘尺，且原作者认为其功能等同于比例尺（在《数理精蕴》中所用为比例规）。稍后，又有《作分厘尺法》：“按《几何原本》作分厘尺法，如甲戊尺三寸，每寸欲分百厘，则将甲乙与戊己边平分为十分作诸横线，次将一寸之甲辛乙丙两边俱分为十分，再于……”，后又加按：“己卯夏江云樵为齐梅麓制比例规及对数诸尺悟得此法，实足补西儒所未备，因附录于此。”[5]
《几何原本》前6卷系明末传入中国，由徐光启翻译，后6卷由晚清学者李善兰翻译，对我国明清学术发展产生了重要影响。比例规是伽利略（Galileo Galilei,1564～1642）在1597 年左右发明的一种算器， 1630年罗雅谷（Jacques Rho, 1593～1638）在《比例规解》（1630 年）中将其用法正式介绍到中国，该书被收入《崇祯历书》中。梅文鼎对其作了改进，他的这些工作汇通中西，取得较多成就，产生了重要影响。由此看来，比例规、分厘尺以及一些空间几何概念都是面东西日晷作图中所用到的知识，且它们在传入中国以后，都已深深地刻上了中国学者再创造的烙印。
谈及中国学者的工作，我们可以更深入一些。在欧洲面东西日晷的各种图或记载中，只依据正切线作了各时刻线，这不难理解，二十四节气始自中国，所以在清代制造的面东西日晷上，不仅有时刻线，而且还有节气线的画法。后一部分内容完全是中国学者的独创，且其难度远远超过了“作时刻线法”。
在《揣籥小录》开始写有：“如无比例尺及八线表，亦可以图量之，法以表长为半径，……，各取其数于纸上作点，与前式同。此法不须检表，不用分厘尺，更简妙。”齐彦槐所给方法可以不用比例规与八线表。由此，《揣籥小录》给出作节气线的方法有3 种：一是用比例规与八线表在图上比得对应半径的各正切线之长；二是直接查所给“各节气距纬正切线表”即可；三是以不同半径作出的割圆八线一一对应比得所求切线长。这些方法中，很难具体区分出哪些部分是西方天文学或数学的内容，而汇通中西的特点显得尤为突出。另外，关于记时制度，清代面东西日晷带有明显的中国特色。
面东西日晷源于西方，历史较长，正式记录始自1773年，其制作方法用了三角学及比例规等知识。明末清初随着传教士来华，面东西日晷在中国开始发展。天文、数学方面相关著作有《崇祯历书》、《大测》、《数理精蕴》、《揣籥小录》等。以梅文鼎《数理精蕴》中汇通中西的工作为基础，齐彦槐的工作具有总结意义，他实际制作了一具可随纬度调节的面东西活晷。此晷虽是原由西方传入。但中国学者加进了自己的创造，因此和西方的差异甚远。一件天文仪器的发展，成为明清时期汇通中西的历史见证。
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