纯粹数学这门科学在近代的发展可以说是人类性灵最富于创造性的产物。另外还有一个可以和它争这一席地位的就是音乐。一切争雄问题我们都可以略而不谈，而要考察一下我们有什么理由承认数学应占有这个地位。数学的创造性就在于事物在这一门科学中显示出一种关系，这种关系不通过人类理性的作用，便极不容易看出来。因此，所有能够直接从感官感觉中得到的概念，除开现存数学知识所引起和引导的知觉以外，其余的都和当代数学家心中所存在的概念风马牛不相及。
我们不妨回溯到几千年以前，看看当时的人甚至连最伟大的贤哲的脑筋都是多么简单。某些抽象概念在我们看来也许一眼就能看清，但他们却认为只能作大概的理解。就拿数字来当例子吧。我们认为“5”这个数字可以应用到任何适当的一群实念上去，如5条鱼、5个小孩、5个苹果、5天等。因此，在考虑数字“5”与数字“3”的关系时，我们所想的便是两群东西，一群有5个个体，另一群有3个个体。我们决不会去考虑组成两群的任何个别的实有，甚至也不会去考虑其中的某一类实有。我们所考虑的两群之间的关系与两群中任何个体本身的本质完全无关。这便是抽象推理中非常显著的功绩。人类要达到这一步必然花去了不少的岁月。在漫长的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的日子也要作出一个比较。但首先注意到7条鱼和7天之间的共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人。当时他一定还不可能看出有待发现的抽象数学观念的复杂性与微妙性，也一定料想不到这些观念会在往后的每一个世纪中发生广泛的吸引力。学术界有一个错误的传统，认为对数学的爱好是一种怪癖，每一个时代只有少数的怪人才有这种怪癖。情形尽管是这样，但抽象思维在古代的社会里是找不到类似例子的。因此，从这里面所能得到的乐趣也是难以估计的。第三，数学知识对人类的生活、日常事务、传统思想以及整个的社会组织等等都将发生巨大的影响，这一点更是完全出乎早期思想家的意料之外了。甚至一直到现在，数学作为思想史中的一个要素来说，实际上应占什么地位，人们的理解也还是摇摆不定的。假如有人说；编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念，就等于是在“汉姆雷特”这一剧本中去掉了汉姆雷特这一角色。这种说法也许太过份了，我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等于是把奥菲莉这一角色去掉了。这个比喻是非常确切的。奥菲莉对整个剧情来说，是非常重要的，她非常迷人，同时又有一点疯疯癫癫。我们不妨认为数学的研究是人类性灵的一种神圣的疯癫，是对咄咄逼人的世事的一种逃避。
当我们想到数学时，心里便出现一种专门探讨数、量、几何等等的科学。近代数学还包括许多更抽象的序数概念以及纯逻辑关系的类似型式的研究等等。数学的特点是：我们在这里面可以完全摆脱特殊事例，甚至可以摆脱任何一类特殊的实有。因此并没有只能应用于鱼、石头或颜色的数学真理。
当你研究纯数学时，你便处在完全、绝对的抽象领域里。你所说的一切不过是：理性坚信任何实有如果具有能满足某某纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一件纯抽象条件的关系。
数学被认为是在完全抽象的领域里活动的科学，它和自身所研究的任何特殊事例都脱离了关系。这种数学观还不太明确，所以我们可以相信，一直到现在这种看法还不能为一般人所了解。举个例来说，一般人在习惯上都认为我们对实际宇宙空间的几何知识的肯定性所根据的理由就是数学的肯定性。这一幻觉在过去曾引起过许多哲学思维，到现在也仍然能引起一些哲学思维。几何问题是一个相当重要的测验。对于许多群未定的实有说来，有好几套不同的纯抽象条件都可以成为这些群之间的关系。我把这些条件称为几何条件。我们在自身对于自然界的直接感觉中可以观察到事物之间具有某种几何关系。上述的抽象条件中有某些条件被认为是可以适用这种特殊几何关系的。而其他各种抽象条件一般说来又都类似这种条件，因此我便通称之为几何条件。但我们这种观察还不够准确。所以关于我们在自然界中所见到的事物，究竟受着什么样的条件控制，也知道得不够确切。但我们只要把假说稍微引伸一下，就能使这些被观察到的条件符合某一套完全抽象的几何条件。这类未定实有原先在抽象科学中本只是一些单纯的叙述。但这样一来，我们就对它作出了某种特殊的决定。在关于几何关系的纯数学中，如果任何一群实有在本群各单位之间所具有的任何关系能满足某一套抽象的几何条件，则某种性质的附加抽象条件一定也能符合这种关系。但当我们讨论物理空间时，便会说某群被确定地观察到的物理实有在本群各实有之间具有某种被确定地观察到的关系，这种关系能满足上述的一套抽象几何条件。因此我们就作出结论说：如果某种附加关系被认定能符合任何这类情形，就一定能符合这一特殊情形。
数学的肯定性建筑在它完全抽象的一般性上。我们相信实际世界中被观察到的实有能成为我们普遍推理过程中的一个特殊事例，但我们并没有先天的肯定性可以认为这种信念是对的。不妨再举一个算术中的例子来看：纯数学中有一条普遍的抽象真理，认为任何包含40个实有的一群可以分为包含20个实有的两群。因此我们便有根据认为，如果某堆苹果包含40个个体，便可以分成两堆，每堆中包含20个个体。但我们把40个那一堆数错的可能是常有的，所以实际上分的时候就可能有一堆多一个，另一堆少一个。
因此，当我们评述一种理论时，如果它的基础是把数学应用在特殊的实际事例上，我们心中便应当把以下三种过程完全记清楚。首先我们必须细细地检查一下纯数学的推理，验明它没有漏洞，没有因为偶然疏忽而产生的不合逻辑的地方。
任何数学家都能从本身痛苦的经验中认识到，开始拟定一系列推理过程时很容易发生一点极微小的错误，后来却因此而差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能发生的。接着，第二个过程是，确实肯定一下，这个推论所预先假定的抽象条件是否可以成立。这就是把数学推论开始的抽象前提确定一下。这一过程是相当困难的。以往曾经发生过极其显然的疏忽，而且这些竟被许多最伟大的数学家历代相沿地接受下来了。这里面最大的危险就是疏忽；也就是说，在不知不觉之间引入某些我们认为自然应当事先设定的条件，然而事实上这些条件却不一定都能成立。在这一方面还存在着一个相反的疏忽，这种疏忽倒不会造成错误，只是会使推理复杂化。也就是说，必要的假设条件很容易被估计得多于实际的要求。换句话说，我们可能认为某些抽象的假设是必要的，但实际上却可以从其他已有的假设上证明出来。
抽象的假设提得过多，唯一的效果就是使我们在数学推理中减少审美方面的乐趣，并且会给第三个评述过程造成麻烦。
第三个评述过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊事例中是否能成立。一切的麻烦都是从这个验证特殊事例的过程中产生的。在数40个苹果这种简单的事例中，只要稍加留心就可以在实际上达到肯定的程度。
但一般说来，在十分复杂的事例上就不可能达到完全肯定的程度。为这一问题而写的书籍简直是汗牛充栋。但这是对立的哲学家交锋的战场。这里面牵涉到两个不同的问题。一方面是我们已经观察到了某些确定的东西，同时我们又要确实弄明白这些东西之间的关系的确服从于某些固定的严格抽象条件。这儿发生错误的可能性就非常大了。一切严格的科学观察法都只是一些措施，为的是减少这些关于直接事实的错误。但这儿又产生了另一个问题：被直接观察到的事物几乎永远只是一些例子。我们所要作的结论是：某些抽象条件如果在例证中能成立，那么在其他一切由于某种理由而被认为是属于同一类型的实有中也都能成立。这种由例证而推论及全体的推理过程就叫归纳法。
归纳法的理论是哲学上无法处理的东西，然而我们的一切行为又都以这种理论为基础。总而言之，当我们评述一件特殊实际事物的数学结论时，真正的困难在于找出被牵涉到的抽象假设，并对它能否适用于当前的特殊事例的证据加以估价。
因此，我们常常看到，在评述一部造诣极深的应用数学书籍或一篇论文时，一切的麻烦就在于第一章上，甚至于就在第一页上。因为正是在这个刚一开始的地方，作者很可能在假设上有失误。同时，麻烦还不在于作者说了一些什么，而在于他没有说的是什么；不在于他明确了的假设，而在于他不知不觉地作出的假设。我们并不怀疑作者的诚实，这里所批评的是他自作聪明的地方。每一代人都批评上一代所作的非意识的假设。人们也可能同意这种假设，但却不能让它停留在非意识阶段，而要把它揭示出来。
语言发展史可以说明这一问题。这种历史是观念分析不断进展的历史。拉丁文和希腊文都是有字尾变化的语言。这就是说，他们表达一丛未加分析的观念时只要把字尾变一下格就行了。但拿英文来说，我们便要用前置词和助动词来表明整个的意义。把辅助的意义硬塞进主要的词句中去虽不见得对所有的文学体裁都方便，但对某些体裁却可能是一个方便。不过，就表达明了这一方面说来，英语这种语言却是高得不可比拟的。明了程度的加强就是把语句涵义中的复杂观念所牵涉的各种抽象概念更完整地表达出来。
拿语言的情形作了一个比较，就可以看出纯数学所达到的思想功能是什么。
这是完全走向完整的分析的有效步骤，这样做为的是把单纯的事物和这种事物所体现的纯抽象条件分开来。
这种分析的习惯启发了人类脑筋的每一种功能。它首先通过分离的方法，强调从审美观点出发直接体察经验的内容。
这种直接体察是理解经验本身就其固有的特质（包括它的直接实际价值在内）说来，究竟是什么。这是属于直接经验方面的问题，必须依靠精微的感觉。然后便是把有关的特殊实有抽象化的问题，也就是把这些实有和它被了解时所处的特殊经验状况分离开来，从而理解它的本身。最后还要进一步理解这些经验中的实有之间的特殊关系所能满足的绝对普遍条件。这些条件之所以具有普遍性，是因为它们可以不涉及某种特殊经验中所发生的某些特殊关系或特殊状态，单靠本身就能表示出来。这些条件可以适用于牵涉其他实有和其他相互关系的无数事态。因此，这些条件是完全普遍的，因为它们不涉及任何特殊事态或在不同事态下存在的任何特殊实有（如绿、红、树等），也不牵涉这些实有之间的关系。
然而数学的普遍性却可以划出一个极限，这一限制对所有的普遍叙述都能适用。任何疏远的事态如果和直接的事态没有关系，因而不能形成该直接事态的要素中一个组成部分的话，那么对这种事态除开一种叙述以外就无法提出任何其他叙述了。我们说的直接事态就是把该问题中的个人判断活动当成一个组成部分的事态，而唯一能作出的叙述则是：“如果任何东西处于关系之外，则对它将无所知”。这儿所说的“无所知”是指“完全不知道”。因之，不论是在实践中或任何情况下，关于如何看待它或处理它的问题都无法提出意见。
我们要知道疏远事态中的一些东西，就必须通过一种认识，这种认识本身就是直接事态的组成部分，否则我们就一无所知。
因此，在各种经验下显示出来的全部宇宙，其中的全部细节都和直接事态具有一定的关系。数学的普遍性是最完整的普遍性，它和构成我们的形而上学世界的各种事态都能符合。
还有一点应当注意的是，特殊的实有在进入任何事态时都必须具有这种一般条件。但许多不同类型的实有也许会要求同一种的一般条件。一般条件超越于任何一套特殊实有之上——这就是“变数”这个概念进入数学和数理逻辑的理由。
正是由于运用了“变数”的概念，考察一般条件时才可以不要任何特殊实有来说明。特殊实有的这种不相关性并没有为一般人所理解。例如实际经验中的“圆性”、“球形性”、“立体性”等等形态的性质在几何推理中并没有地位。
运用逻辑推理时所涉及的完全是这种绝对普遍的条件从最广泛的意义上来说，发现数学就是发现这些抽象条件的全部情况。它们都可以同样运用于一切实有在任何实际状况下所发生的关系，而且彼此之间用一定的模式互相联系起来，其中还具有一种启开全局的锁钥。普遍抽象条件之间所存在的这种关系模式无分轩轾地存在于所有的外界实有之上。同时也普遍存在于我们对外界实有所作的抽象表达之上。这一情形是通过下一普遍的必然性形成的；即每一事物都必然不多不少正好形成它的自身，并且以它自身特有的方式区别于其他任何事物。这就是抽象逻辑的必然性，而这种必然性就是每一种直接经验事态所显示的关联存在这一事实必然假定的前提。
打开关系模式的锁钥所指的情况是这样：普遍条件中被选定的某一套条件在某一事态下体现后，如果想要求得体现在同一事态下然而又涉及该条件的无限变种的模式，就可以纯粹运用抽象逻辑来推演。任何这类被选定的条件就叫一套假设或前提，推理就是从这种假设或前提下开始的。如果把这一套选定的假设推演出它的模式来，然后再把这一模式中所包括的普遍条件的全部模式表达出来，便是所说的推理过程了。
推演出假设中所包含的完整模式来的逻辑推理的谐和是一种最普遍的审美性质。这种性质仅是从一个事态的统一体中所包含的协同存在这一事实上产生出来的。只要有事态的统一体存在的地方，该事态所牵涉的普遍条件之间便存在着审美学的关系。这种审美学的关系是在运用理性的时候发现的。所有属于这一关系之内的东西便都在该事态中体现出来，所有不属于这一关系之内的东西便不可能在该事态中体现。
因此，象这样体现出来的普遍条件的完整模式便可以由任何一套精选的条件来决定。这类锁钥性的各套假设是由相等的假设组成的。“存在”的这种理性谐和是一个复杂事态的统一体所必需的，这种谐和再加上该事态的逻辑谐和所牵涉的一切完整体现就是形而上学理论的主题。这话的意思就是说：事物在一起存在时都是有理性地在一起存在的。同时也就是说，思想可以认识每一种事实的事态。
因此，只要理解了锁钥性的条件，条件模式的全部复杂情况便被打开了。总起来说：如果我们知道了某一事态中各种要素的某些完全普遍的性质，就能知道同一事态下必然会出现的无数其他同样普遍的概念。一种事态的统一性所牵涉的逻辑谐和既是排他的，又是无所不包的。该事态必须排斥一切非谐和的东西而包含一切谐和的东西。
毕达哥拉斯第一个掌握了这一普遍原则的全部意义。他是纪元前6世纪的人。
我们对他的了解是很不完全的。但我们欲知道某些使他成为思想史中的伟大人物的特点。他坚持推理中极终普遍性的重要意义。他看出了数字在帮助人们叙述出自然秩序中所涉及的条件时的重要意义。我们也知道他研究过几何，发现了直角三角形著名定理的普遍证法。他建立了毕达哥拉斯兄弟社，关于该社的仪式和影响还有许多神秘的传说。这些都提供了证据，说明毕达哥拉斯的认识不论怎样模糊，但总是看出了数学在科学构成中可能具有的意义。
在哲学方面他开创了一种讨论，这讨论往后一直在激动着思想家的心弦。他问道：“数学中的实有象‘数’之类的东西在事物领域中究竟应占什么地位呢？”
例如“2”这一个数目便是处在时间之流和空间的必然位置以外的东西。然而它却是实际世界所涉及的东西。同样的理由也可以适用于圆形之类的几何概念。据说毕达哥拉斯曾经认为数学的实有如数与形状等是最后的材料，我们的感官经验中的实有都是由这种材料组成的。这样概略说来，这种观念似乎非常粗糙，而且也诚然很笨。但他却讲到了一个相当重要的哲学概念。这个概念具有悠久的历史，曾经激动过人们的心弦，甚至还深入了基督教的神学。阿德纳肖信条和毕达哥拉斯相距有1，000年之久，黑格尔和毕达哥拉斯则相差有2，400年之久。不管时间距离有多长，但有限数在神性构成中的意义，以及现实世界是观念发展的体现等说法，都可以追溯到毕达哥拉斯所创始的一系列思想上去。
个别思想家的地位有时是随机遇而转移的。也就是说，必须看他的观念在继承人心中的命运如何而定。在这一方面毕达哥拉斯是很幸运的。他的哲学思想通过柏拉图的头脑传授给我们了。柏拉图的观念世界就是修正和提炼毕达哥拉斯的学说而成的。这一学说认为现实世界的基础是数。希腊时代表示数时用的是不同形式的点。因之，数的观念和几何形状的观念便不象我们现在这样离得很远了。
无疑，毕达哥拉斯把形状的性质也包括到自己的学说里去了，这是不纯粹的数学实有。现在爱因斯坦和他的继承人都主张重力这一类的物理事实，可以说是时—空性质中局部特征的表现。他们这种学说便是在追随着纯粹的毕达哥拉斯传统。
从某种意义来说，柏拉图和毕达哥拉斯比亚里士多德更接近于近代物理科学。
前二者都是数学家，而亚里士多德则是一个医生的儿子。当然我不是因此就说他不懂数学了。从毕达哥拉斯那里所能得到的实际见解就是事先度量，然后用数字决定的量来表示质。
但从那时起一直到我们这个时代以前这个时期，生物学一直多半只是一种分类的科学。因此，亚里士多德便在他的“逻辑学”中把重点放在分类上。他这部“逻辑学”很享盛名，因而在整个的中古世纪一直阻碍着物理科学的进展。如果烦琐学者实行度量而不专门搞分类的话，他们将要多知道多少东西啊！
分类是可以直接观察的个别实际事物和完全抽象的数学观念之间的中途站。生物分类中的种所注意的只是种的特性，属所注意的是属的特性。但当我们通过数计、度量、几何关系和秩序形态等把数学观念和自然界的事实连系起来，理性的思维便离开了那种牵涉一定的种与属的不完整抽象境界，而进入了完整的数学抽象境域了。分类是必须的，但除非你能从分类走向数学，否则你的推理便不会有多大进展。
从毕达哥拉斯到柏拉图那一段时期和属于现代世界的17世纪这一段时期之间，相隔差不多有两千年之久。在这个漫长的时期中，数学得到了长足的发展。几何在圆椎截面和三角的研究方面获得了成功，穷究法也几乎先声夺人地达成了微积分的研究。最重要的还是亚洲思想家供献了阿拉伯数字和代数学。但这些进步都是技术方面的。在这些漫长的岁月中，数学作为哲学发展的构成部分来说，从来没有从亚里士多德的掌握中解脱出来。但从毕达哥拉斯与柏拉图那一时代传来的一些老观念，在这两千年中仍然不绝如缕；这些观念从柏拉图学说对基督教神学初期发展的影响中也可以看出来。但哲学并没有从不断发展的数学科学中得到任何新的灵感。到17世纪亚里士多德的影响降到了最低潮，数学也就恢复了往日的重要地位。这是一个伟大物理学家和伟大哲学家的时代，而哲学家和物理学家又都是数学家。唯有约翰·洛克不同，他虽然也曾受到皇家学会中牛顿这一派人物的深刻影响，但却是一个例外。在伽利略、笛卡儿、斯宾诺莎、牛顿和莱布尼兹的时代里，数学对哲学观念的形成发生了极大的影响。但这时脱颖而出的数学是一门和早期的数学完全不同的科学。它开始了几乎难以令人置信的现代事业，它在普遍性上有了进展，推演出了一套又一套的奥妙的理论。而且每增加一分复杂性时，就愈找到了应用于物理科学或哲学思维的新途径。阿拉伯数字在处理数目方面几乎为科学提供了完整的技术效能。象这样从琐屑的算术细节（如纪元前1，600年埃及的算术所表现的情形一样）中挣脱出来以后，便使希腊晚期数学模糊地预见到的前途得到了发展。这时代数登上了舞台，代数成了算术的普通理论。正如同数字超脱了任何一套特殊实念的约束一样，代数也超脱了任何特殊数字的观念。比如说，数字“5”可以无分轩轾地表示任何包含5个实有的群。同样的道理，代数中的字母也可以无分轩轾地用来表示任何数字。只是事先应当规定，在同一用法中每个字母都始终代表同一数字。
这种用法首先是用在方程式中。方程式是用来问复杂的算术问题的方式。在这种场合下，代表数字的字母称为“未知数”。但不久方程式就提出一个新概念，即一个或多个普遍符号的函数。这种符号就是代表任何数字的字母。在这种用法中，代数字母称为函数的“自变数”，有时也称为变数。比方说，在这种情形下，如果以某种单位来测量一个角，并将所得的数字用一个代数字母来代表，于是三角便被吸收到这种新的代数中去了。因此，代数就发展成为一门普遍的分析科学，研究许多未定自变数的各种函数的性质。最后，各种特殊的函数如“三角函数”、“对数函数”和“代数函数”等都综合为一个概念——“任何函数”。太广泛的综合就会毫无结果。唯有用一种巧妙的特殊性来限制广泛的综合，才能成为有效果的概念。例如任何连续函数的概念都引入了连续性有限制的概念，因而便是富于效果的概念，并且已经得到了许多极重要的应用。当时兴起的代数分析正好和笛卡儿发现解析几何以及牛顿与莱布尼兹发现微积分同时。诚然，毕达哥拉斯如果预先看到了他所创始的思绪的结果，一定会认为他的兄弟会和会里所热衷的神秘仪式是完全有理由的。
我现在要说明的一点是：函变数观念在数学的抽象领域中这样流行，反映在自然秩序中便是用数学表达出来的自然规律。要是没有这种数学的进步，17世纪的科学发展便是不可能的。数学为科学家对自然的观察提供了想象力的背景。伽利略、笛卡儿、惠根斯和牛顿等人都创造了许多公式。
如果要举一个特殊的例子来说明数学的抽象发展对当时科学的影响，那么不妨看看周期性这一概念吧。在我们的日常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。日子、月相、一年的四季、心跳、呼吸等都重复出现，绕行的星球也重复回到自己的老位置上去。我们在各方面都看到有重复现象发生。
没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性的重复现象，也不可能有度量。当我们获得了这一“精确”观念后，重复现象在我们的经验中便成了基本的东西。
在16、17世纪时，周期性的理论在科学中占了主要地位。
凯普勒发现了一条定律，可以把各种行星轨道的长轴和各行星循着自己的轨道环行时的周期联系起来；伽利略观察了摆的振动周期；牛顿认为声音是由稀密相间的周期性波动通过空气时所发生的扰动而形成的；惠根斯认为光线是由精微的以太的横振动波而形成的。麦西尼把提琴弦的振动周期和它的密度、张力以及长度联系起来。现代物理的诞生必须依靠周期性的抽象概念在许多实例上的应用。但假若不是数学首先用抽象的方式把环绕着周期性这一概念的各种抽象观念全推演出来了，这事是不可能办到的。三角学刚兴起时是研究直角三角形两锐角跟勾股弦的比率之间的关系。接着，在数学中新发现的函数分析的影响下，又扩大为体现这种比率的纯粹抽象的周期函数的研究。因此三角便完全变成抽象的研究了，而且正是由于变成了抽象的研究，所以就有用处了。它说明了各种完全不同的物理学现象中所潜存着的相同关系。
同时也提供了一种武器，使任何一套物理学现象都可以把自身的各种性状加以分析，然后连系起来①。
从以往的事实看来，数学往更极端的抽象思维的高超领域上升得愈高，日后再回到下面来时对具体事物的分析就愈加重要，这一点是再清楚不过了。17世纪的科学史读来，仿佛是柏拉图和毕达哥拉斯一些历历如目前的梦境。从这方面说来，17世纪仅仅是后继者的开路先锋而已。
最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武器，这一个似非而是的说法现在已经完全肯定了。由于17世纪时数学家盛极一时，18世纪的思想便也是数学性的，尤其是法国的影响占优势的地方更是如此。
但英国从洛克开始的经验主义却是一个例外。在法国以外的国家里，牛顿对哲学的直接影响表现在康德身上最为明显，在休谟身上倒并不如此。
19世纪时，数学的一般影响减弱了。文学上的浪漫主义运动和哲学上的唯心主义运动都不是从数学家开始的。甚至在科学领域里的地质学、动物学和一般生物科学的发展都完全与数学无关。这一世纪科学上最惊人的成就便是达尔文的进化论。因此，按照这个世纪一般的思想状况说来，数学远远地退居到后面去了。这倒不是说数学被忽视了。甚至也不是说数学没有发生影响。19世纪纯数学的进步几乎等于从毕达哥拉斯以来所有各世纪的总和。当然，由于技术日趋完善，进步是比较快的。
我们纵使是承认这一点，但数学从1800到1900年这一段时期中的变化仍然是惊人的。如果我们把前一百年也数上，看一看现代以前两百年的情形，我们也许会认为数学是在17世纪的最后25年间奠定基础的。发现基本要素的时期可以说是从毕达哥拉斯起一直到笛卡儿、牛顿和莱布尼兹这个时期，但发展成熟的科学则是在最近250年才出现的。这并不是在夸耀近代天才的高超，因为发现基本要素本来比发展科学要困难得多。
在19世纪的整个时期中，数学的影响在于它对动力学和物理学的影响，然后又发展到工程和化学。数学通过这些科学对人生的影响之大是难以估量的。但它对当时的一般思想却没有直接的影响。
上面是数学在全部欧洲历史中的影响的简述，回想一下这一简述就能看出数学曾在两个伟大时代对一般思想发生的直接影响。这两个时代全部大约延续了200年之久。第一个时代是从毕达哥拉斯到柏拉图的时期，那时创立数学的可能性和数学的一般性质破天荒第一次在希腊思想家心中萌芽了。第二个时代包括现代的17、18两个世纪。这两个时代具有某些共同点。
在前后两个时代中，与人类有关的许多领域里的一般思想范畴都瓦解了。在毕达哥拉斯时代，一般人不知不觉地接受的异教文化具有美妙的仪式和魔术的法事作为传统的外衣；那时异教文明在两方面影响下进入了一个新的阶段。一方面有许多宗教热忱的浪潮，在为奥妙的事物寻求直接的启示。但在另一个极端上却产生了一种批判的分析思想，以冷静的头脑探究事物的终极意义。这两种影响的结果虽然完全是背道而驰的，但却有一个共同的因素，也就是唤醒了一股好奇心，和一股重建传统方式的运动。这种异教的神秘可以比之于后一时期清教徒和天主教的反作用。在两个世纪中批判的科学思想除了实际意义上略有区别而外，其他的方面是相同的。
两个时代的早期都是繁荣景象兴起，新的前景蓬勃展开的时期，在这一点上和公元第二、三世纪基督教征服罗马帝国世界那种衰落的时代不同。唯有在幸运的时代里，一方面能摆脱环境的压迫，另一方面又具有强烈的好奇心，时代精神才能重新评价那些隐藏在实际概念后面的极终抽象概念。
一个时代的严肃思维就是从这些实际概念出发的。唯有在难逢的世纪中才能完成这种事情，从而使数学和哲学发生关系。
因为数学是人类头脑所能达到的最完美的抽象境界。
这两个时代的类似之处也不能说得太过火。现代世界比古代地中海沿岸的世界更大而且更复杂。甚至和遣送哥伦布与开辟美州的清教徒渡过大西洋的欧洲比起来也是如此。我们这个时代已经无法用一个盛行一时然后又搁置上千年的简单公式来解释了。因此，从卢梭以来，数学思维的暂时沉寂状态似乎已近尾声了。我们已经进入一个宗教、科学与政治思想的改造时代。这样的时代如果不愿单纯懵懵懂懂地在两极端之间摇摆的话，就必须在事物的极终深处寻求真理。
但除非有充分说明这种极终的抽象思维的哲学，并以数学来说明各思维之间的关系，否则这种深奥的真理是无法洞察的。
为了确切地说明数学在现代的普遍重要性正在怎样地增长，我们不妨从科学上的某一个令人迷惑莫解的事实出发，看看我们在试图解决其中的困难时，必然会被引导到什么样的观念上去。目前物理学正在量子论上感到为难。如果读者有人还不清楚这理论究竟是什么的话，我在这儿暂不多谈①。主要是说明这理论中最有希望的解释是，先假定电子不是连续地渡过其空间中的道路。有一个不同于现行看法的观念认为电子存在的方式是通过一系列的期间所组成的时间占据一段空间，而且在这一段空间中只在一系列不连续的位置上出现。
正好像是一部平均时速30英哩的汽车不连续地通过这条道路，而只递次在一系列的里程碑上出现，并在每块里程碑上停留两分钟。
首先，这观念须要将数学作纯技术的应用，看看这概念是不是真正能解释量子论中许多令人迷惑莫解的性质。如果经过这样的测验这观念还能存留下来，物理学无疑是会采用它的。就以上所谈的一切说来，这问题纯粹是要在数学和物理科学之间根据数学的计算和物理的观察来加以解决的问题。
但目前这一问题已经转交给哲学家了。象这样，我们就认定电子在空间中具有一种不连续的存在，这和我们通常假定物质显然具有的连续存在是很不相象的。
电子似乎把一般所谓西藏红教喇嘛的道行借来了。现在一般认为这种电子加上相应的质子就构成日常生活中的物体的基本实念。这样说来，如果上述解释被采用的话，我们关于物质存在的终极性质的概念就必须全部重新考虑。因为当我们深入这种终极实有时，空间存在的令人惊讶的不连续性就显示出来了。
解释这个表面上的矛盾是不困难的，只要我们同意把目前在声和光两种现象上一般所接受的原则应用到表面稳定而不分化的物质持续状态上去就行。一个持续发音的音符被解释成为空气振动的结果，一种稳定的色彩被解释成为以太振动的结果。要是用同样的原则来解释物质的稳定持续状态，我们就会认识到每一种原始要素都是潜能或潜在活动所产生的振动波。如果我们所说的能始终是物理学上那种能，那么每一种基本要素便都成了一种有组织的振动能流系统。同时，每一种基本要素便都具有一个一定的周期，能流系统将从一个静止的极限摆到另一个静止的极限。假如用海潮来作例子的话，能流系统便将从一个高潮摆到另一个高潮。这种组成基本要素的体系，在某一瞬间讲来是不成体统的。它需要本身的整个周期才能显示出来。同样的道理，一个音符在任何瞬间也不能成为音符，而需要它本身的整个周期才能显示出来。
因此，如果要问原始要素在什么地方，我们就必须取它在每一个周期的中央的平均位置。如果我们把时间分成更小的单位，作为单个电子实有的振动系统是不存在的。象这样一个振动的实有在空间所经过的道路（振动组成实有的地方）必须说成是空间一系列分离的位置，就好象是出现在一系列里程碑上，而不出现在两碑之间的汽车一样。
首先我们要问有没有证据可以把量子论和振动说联系起来。这问题马上就可以作肯定答复。整个的量子论都是围绕着原子的辐射能来研究问题的，并且与辐射波系统的周期有密切关系。因此，振动存在的假说是有希望解释轨道不连续这一矛盾。
其次，如果我们采用上述假说，认为物质的原始要素的本质具有振动性，那末，哲学家和物理学家又会遇到一个新问题。上述的假说的意思是说除开周期性的系统以外，这种要素就不存在了。有了这种假说之后我们就要问：组成振动机构的成分究竟是什么呢？我们已经抛却了不分化的持续状态的物质。除去形而上学的强制性以外，抛却了这种物质之后并没有理由必须提出另一种更精微的质料来代替它。现在这方面已经打开了大门，可以引入一种新机体论来代替唯物论。
自从17世纪以来，哲学就让科学把这种唯物论象马鞍子一样套在自己身上了。我们必须记住，物理学家所谓的“能”显然只是一种抽象概念。有形的事实是机体，它必然是实在事件的性质的完整表现。假如把这种科学的唯物论替换下来，思想的每一个领域中就一定会受到重大的影响。
最后，我们的结论必然是：我们终于又回到老毕达哥拉斯理论的一个说法上来了。数学和数理物理就是他所创始的。
他认识到研究抽象概念的重要性，尤其是他使人们注意到数字能说明音乐中音符的周期性这一事实。因此，周期性这一抽象概念的意义，从一开始就是欧洲哲学和数学所共同提供的贡献。
17世纪时，现代科学的诞生需要一种新的数学，需要具有更完备的方法，以分析“振动存在”的性质。在20世纪的今天，又看到物理学家大多从事原子周期的分析。诚然，毕达哥拉斯在建立欧洲哲学和欧洲数学时，就使它们十分幸运地获得了关于周期的推测。这会不会是神圣的天才的闪现，洞察到事物最奥秘的本性中去了呢？
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