柏拉图和几何学 在本书第二版中，我对第６章第９个注释（第248－253页）（原书页码——译者注）进行了大篇幅的增补。在这个注释中所提出的历史假说后来在我的论文“哲学问题的性质及其科学根源”（《不列颠科学哲学杂志》，1952年第3期，第124页以下；现也收入我的《猜想与反驳》一书）。它可以复述如下：（１）对２的平方根的不合理性的发现，使毕达哥拉斯把几何学和宇宙学（或许所有知识）都归结为算术的方案破产，从而导致希腊数学的危机；（２）欧几里德的元素不是几何学的教科书，而是柏拉图学派解决这个危机的最后尝试，这种尝试力图通过在几何学的基础上重建整个数学和宇宙学，并颠倒毕达哥拉斯算术化方案以便系统地而不是单独地处理不合理性问题；（３）后来由欧几里德提出的这个方案最早是由柏拉图构想出来的：柏拉图是认识到重建必要性的第一人；他选择几何学作为新的基础，选择几何学的比例方法作为新的方法；他提出将数学、天文学和宇宙学几何化的方案；他还成为几何学世界图景的缔造者，因而也成为近代科学——哥白尼、伽利略、开普顿和牛顿的科学——的缔造者。 我认为，柏拉图学园大门上的著名铭文提及了这个几何化方案。 在第 249页（原书页码——译者注）最后一段的中间部分，我指出“柏拉图是最早发展出一种特定的几何学方法的人之一，其目的是在破产的毕达哥拉斯学说中将可以挽救的部分挽救出来”；我把这个提法描述为“不可靠的历史假说”。现在我不再认为这个假说不那么可靠了。相反，现在我觉得依据这个假说重读柏拉图、亚里士多德、欧几里德和普罗克洛斯的著作，会得到许多期盼的肯定性证据。除了所引用的那段话有肯定性证据外，我现在还想补充说，《高尔吉亚篇）（451a／b；c；453e）把讨论“奇数”和“偶数”作为算术的特征，由此明确地将算术与毕达哥拉斯的数字论同一起来，同时，把几何学家定性为采纳比例方法的人（465b/c）。而且，在《高尔吉亚篇》的一段话（508a）中，柏拉图不仅提到几何学的相等（参见第8章第278页注），而且还含蓄地提到他后来在《蒂迈欧篇》中充分展开的那个原则：宇宙的秩序是几何秩序。附带说一句，《高尔吉亚篇》也表明，在柏拉图心中，“alogos”这个词与无理数并没有联系，因为他在465a中说，甚至一种技术或技艺也肯定不是“alogos”；这将保护诸如几何学之类的某种科学。我认为，我们可以把“alogos ”简单地译为“反逻辑的”（alogical）。（参见《高尔吉亚篇》496a/b；和522e。）这点对于解释先前在第249页提到的德谟克利特的佚稿的标题十分重要。 我的论文“哲学问题的性质”也包含了我对柏拉图形式论的某些进一步看法。
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