泰阿泰德：苏格拉底，现在仔细听我说，因为我要给你讲的不是一个小小的诀窍。 苏格拉底：泰阿泰德，我会尽心听的，只要你给我略掉你在数论上获得的成就的细节，并用一种我这个普通人能听懂的语言来叙述。 泰：我准备接着问你的问题非常奇怪，虽然它是用完全普通的语言来表达的。 苏：不必提醒我，我全神贯注地听着呢。 泰：苏格拉底，在你上两次插话之间，我说了些什么? 苏：你说：“我准备接着问你的问题非常奇特，虽然它是用完全普通的语言来表达的。” 泰：你知道我说的是什么吗? 苏：我当然知道。你的警告涉及你打算问我的一个问题。 泰：我的警告所涉及的我的问题是什么呢?你能重复一遍吗? 苏：你的问题吗?让我想想看……哦，我知道了，你的问题是：“苏格拉底，在你上两次插话之间，我说了些什么?” 泰：苏格拉底，我觉得你说话算数：你确实在专心听我讲话。但是，你理解你刚才复述的我这个问题吗? 苏：我想，我能证明，我立即理解了你的问题。因为，你一开始向我提出时，我不是就正确地回答了吗? 泰：不错。不过，你是否同意它是个非常奇特的问题呢? 苏：不。泰阿泰德，无疑，它提的不太礼貌，但我恐怕这没有什么异乎寻常的地方。不，我在其中根本看不出什么不同寻常的地方。 泰：苏格拉底，如果我失礼的话，那我很抱歉；请相信我，我只是想提得简洁一点，在我们讨论的那个阶段上，简洁是重要的。但是，我觉得有意思的是，你认为我的问题是个普通的问题(除了它的无礼而外)；因为有的哲学家可能会说，它是个不可能的问题——至少是个不可能正确理解的问题，因为它可能没有意义。 苏：你的问题为什么会没有意义呢? 泰：因为这个问题间接地涉及它自身。 苏：我看不出这一点。我所能看到的是，你的问题只涉及就在你提这个问题以前你给我的警告。 泰：我的警告涉及什么呢? 苏：现在我明白你的意思了。你的警告涉及你的问题，而你的问题涉及你的警告。 泰：但是，你说你对我的警告和我的问题都理解，是吗? 苏：在理解你所说的话方面，我一点没有问题。 泰：这似乎证明了，一个人说的两个事物可以是完全有意义的，尽管事实上它们间接地自我涉及，也即前者涉及后者，后者涉及前者。 苏：似乎是证明了这一点。 泰：你不认为这非常奇特吗? 苏：我觉得它看来并不奇特。这似乎是显而易见的。我看不出你有什么理由费心提请我注意这样的自明之理。 泰：因为它受到许多哲学家的至少是隐含的否定。 苏：遭到过否定吗?你使我吃惊。 泰：我指的是这样的哲学家，他们说，因为一个有意义的和适当构造的陈述不能涉及自身，因此，像说谎者这样的悖论(爱庇梅尼德斯的麦加拉学派翻版)不可能产生。 苏：我知道爱庇梅尼德斯和说谎者是说，“我现在正在说的是假话”(不是别的什么话)；我发现你刚才提到的解决方法很有吸引力。 泰：但是，如果像你刚才那样承认，间接的自我涉及是允许的，那末它并没有解决这悖论。因为，像朗福德还有朱乔丹(和在他们以前的布里丹)所已表明的那样，可用间接自我涉及而非直接自我涉及来表述说谎者悖论或爱庇梅尼德斯悖论。 苏：请你马上给我这种表述。 泰：我准备作出的下一个断定是个真的断定。 苏：你不是总是讲真理的吗? 泰：我作的上一个断定不是真的。 苏：因此，你想撤消它，是吗?好吧，你可以从新开始。 泰：你似乎没有认识到，我的两个断定合在一起意味着什么。 苏：哦，现在我明白了你说的话的含义。你完全正确。这完全又是一个古老的爱庇梅尼德斯。 泰：我用了间接自我涉及而不是直接自我涉及；那是惟一的不同。我认为，这个例子确证了：像爱庇梅尼德斯这样的悖论不可能用研究自我涉及断定的不可能性来解决。因为，即使直接自我涉及是不可能的或没有意义的，间接自我涉及无疑还是十分普通的。例如，我可以作出下述评论：苏格拉底，我满怀信心地盼望你给出一个机智而又恰如其分的评论。 苏：泰阿泰德，你这样表达你的信心，太让人高兴了。 泰：这表明，下述情形是何等容易发生：一个评论是对另一评论的评论，而后者本身又是对前者的评论。但是，一旦我们认识到，我们不能以这种方式解决这个悖论，我们也就会明白，甚至直接自我涉及也可能是完全适当的。事实上，很早就已知道许多虽则直接自我涉及但却非悖论的断定的例子。这些例子包括带一定经验性的自我涉及陈述以及真假能由逻辑推理确定的自我涉及陈述。 苏：你能否举出一个经验地真的自我涉及断定的例子呢? 泰：…………… 苏：泰阿泰德，我听不出你在说些什么，请你大声一点再重复一遍。我的听觉已不如从前。 泰：我说：“现在我说得这样轻，因此亲爱的老苏格拉底听不出我在说些什么。” 苏：我觉得这个例子很好；我不能否认，当你说得那么轻时，你说的是真理。我也不能否定这真理的经验性；因为，假如我的耳朵年轻一点，那它就会变为一个非真理了。 泰：我下一个断定的真理性甚至可逻辑地加以证明，例如用归谬法加以证明，这是几何学家欧几里得最钟爱的方法。 苏：我不知道这个人；我猜想，你不是指来自麦加拉的那个人吧。但我想我知道你说的归谬法是什么意思。你现在要说明你的定理了吗? 泰：我现在说的话是有意义的。 苏：如果你不介意的话，我将试图自己来证明你的定理。为了归谬法的目的，我从假定你最后一句话无意义开始。然而，这本来是和你讲的话相矛盾的，从而蕴涵着你的讲话是虚假的。但是，如果一句话是虚假的，那么，它显然必定是有意义的。因此，我的假定是荒谬的；而这就证明了你的定理。 泰：苏格拉底，你已经明白了。像你坚持认为的那样，你已证明了我的定理。但是，有些哲学家可能不相信你。他们会说，我的话(或你否证的那句话，即“我现在说的话是无意义的”)是悖论，并且，因为它是悖论，所以你能随心所欲地“证明”它——它的真和它的假。 苏：我已表明，关于“我现在说的话是无意义的”这个断定的真实性的假定，导致一个谬误。让他们用类似论证来表明，假定它的虚假(或你的定理的真实)也导致一种谬误。当他们这样做成功时，他们就可以宣称它的悖论性，或者你愿意的话，宣称它的无意义性以及你的定理的无意义性。 泰：苏格拉底，我赞成。并且，我非常满意的是：他们不会成功——至少在他们说的“一句无意义的话”意味着类似以违反语法规则的方式表述的语句，或者说，构造拙劣的语句那样的东西的时候。 苏：泰阿泰德，我很高兴你这样有把握。但是，难道你没有对我们的情况太肯定了一点吗? 泰：如果你不介意的话，那么我把对这个问题的答复再延迟一二分钟。我的理由是，我想首先使你注意到这个事实：即使有人表明了我的定理或许它的否定是悖论，他也并不因此就成功地表明了它应被描述为“无意义的”(在这个词最好最恰当的意义上说)。因为，为了取得成功，他必须表明，如果我们假定我的定理是真的(或者它的否定即“我现在说的话是无意义的”是假的)，那就会产生一个谬误。但我想争辩说：任何不理解我定理(或它的否定)的意义的人都不能企求这样的推导。我还想争辩说：如果一句话的意义能为人理解，那么，这句话就具有意义；再者，如果这句话蕴涵什么(就是说，如果从中可得出别的什么东西)，那它必定也有意义。至少这观点似乎是和通常的习惯用法相一致的，你不以为然吗? 苏：我是这样认为的。 泰：当然，我并不想说，不可能有使用“有意义的”这词的其他方式；例如，我的一个数学家朋友提出过，仅当我们对一个断定具有一个正确的证明时，我们才称它为“有意义的”。但是，这样一来，像哥德巴赫的“每个偶数(除2以外)都是两个素数之和”这样的猜想，在我们正确地证明它以前，我们就无法知道它是否有意义；并且，甚至发现一个反例也不会否证这个猜想，而只是确证它没有意义。 苏：我认为，这种对“有意义的”这个词的用法既是奇怪的，又是笨拙的。 泰：其他人比较随便一点，他们提出，当且仅当存在一种方法能证明或否证一个断定时，我们才称这个断定为“有意义的”。这使得像哥德巴赫这样的猜想成为有意义的，当我们发现一个反例(或构成一个反例的方法)时。但是，只要我们还没有找到一个证明或否证它的方法，我们就不能知道它是否有意义。 苏：我觉得，仅仅因为我们还不知道怎样去证明或否证，就宣称一切猜想或假说都是“无意义的”或“胡说八道”，那似乎是不正确的。 泰：还有一些人提出，仅当我们知道怎样发现一个断定是真的还是假的时，我们才能称这个断定是“有意义的”；这种见解在一定程度上仍是那个意思。 苏：我看这确实和你前面的见解非常相似。 泰：然而，如果我们说的“一个有意义的断定或问题”是指可为任何懂得这种语言的人所理解的话语之类的东西，因为它是按照这种语言构成陈述句或疑问句的语法规则构成的，那么，我认为，我们能给我的下一个又是自我涉及的问题提供一个正确的答案。 苏：让我来看看我能否解答这个问题。 泰：我现在向你提的这个问题是有意义的还是没有意义的呢? 苏：它是有意义的，并且可以证明是这样。假定我的回答是假的，而“它是无意义的”这个回答是真的。于是，就可以对你的问题给出一个真实的答案。但是，可对之给出一个答案(且是个真实答案)的一个问题必定是有意义的。所以，你的问题是有意义的，quoderat demonstrandum[证讫]。 泰：苏格拉底，真不知道你从哪儿学到这些拉丁语的。不过，在你的证明中我找不到任何差错；它毕竟只是你对你所称的我的“定理”的证明的翻版。 苏：我认为你已取消了自我涉及的断定总是无意义的这个见解。但是，我为承认这一点感到难过，因为它似乎是个摆脱悖论的过于直截了当的方法。 泰：你不必难过：这里几乎没有别的出路。 苏：为什么不必难过呢?泰：有些人似乎认为，存在一种解决悖论的方法，即把我们的话语或词句划分为可能真也可能假的有意义的陈述和可能既不真又不假的无意义的、胡说八道或构造不当的话语(“假陈述”或如有些哲学家喜欢称作的“不定命题”)。只要他们能够表明，一个悖论的话语属于“真、假和无意义”这三个已经穷举的类的第三类，那么，他们便相信，这种悖论就找到了解决方法。 苏：一点不错。这正是我心里所想的方式，虽然对之我还没有这样清楚；我觉得它很吸引人。 泰：但是，这些人并不问一问自己，在划分为这样三类的基础上，是否有可能解决像说谎者悖论这样的悖论，即使我们能够证明这个悖论属于无意义的话语这第三类。 苏：我不能领会你的意思。假定他们成功地找到了一个证明，它确证了：每当“U”是“U是假的”这句话的一个名字时，形式为“U是假的”的这句话就是无意义的。为什么说这并没有解决这个悖论呢? 泰：并没有解决。这只是转移了问题。因为，在U本身就是“U是假的”这句话的假定之下，我能借助这种对话语的三重分类来否证U是无意义的这个假说。 苏：如果你是正确的话，那么，对U是无意义的这个假说的一个证明实际上只是确立了一个新的陈述，它既可能得到证明，也可能被否证，因而是个新的悖论。但是，你怎么能否证U是无意义的这个假说呢? 泰：还是用reductio[归谬法]。我们总可以从我们的分类中看出两条规则。(i)从“X是无意义的”的真，我们可以推出“X是真的”的假，还可以推出(这是我们这里所感兴趣的)“X是假的”的假。(ii)从任何话语Y的假，我们可以推断Y是有意义的。按照这两条规则，我们发现，从我们的假说“U是无意义的”的真，我们可根据(i)推出“U是假的”的假；从而根据(ii)推断“U是假的”是有意义的。但是，由于“U是假的”只不过就是U本身，所以我们表明了(还是根据(ii))：U是有意义的；这就是reductio[归谬法]的结论。(附带说一句，既然我们的假说的真蕴涵了“U是假的”的假，所以它还蕴涵了我们原先的悖论。) 苏：这是个令人惊讶的结果：正当你以为你已把一个说谎者从门口赶了出去时，他却又从窗口钻了进来。没有什么消除这些悖论的方法了吗? 泰：苏格拉底，存在一种十分简单的方法。 苏：它是什么方法呢? 泰：就是避开它们，像差不多每一个人所做的那样，不要把它们挂在心上。 苏：但是，这样就行了吗?这样做可靠吗? 泰：对于日常语言和日常目的，这似乎已足够了，也很靠得住。不管怎样，用普通语言你只能这样做，因为如我们所见，悖论可以用普通语言构成，并且是可以理解的。 苏：难道我们不能规定，任何种类的自我涉及，无论直接的还是间接的都应该避免，从而清除掉我们语言中的悖论吗? 泰：我们可以试试看(虽然这可能导致新的困难)。但是，我们以这种方式为之作规定的一种语言不复是我们的日常语言；人工规则搞出一种人工语言。我们的讨论不是已经表明，至少间接的自我涉及完全是一种日常的东西吗? 苏：但对数学来说，带点人工性的语言是恰当的，不是吗? 泰：是的，而且为了用人工规则构造一种语言(如果做得恰当，可以称之为“形式化的语言”)，我们可从下述事实得到启示：日常语言中可能出现悖论(而它们是我们想避免的东西)。 苏：我想，你打算为你的形式化语言作出规定：必须严格排除一切自我涉及，是吗? 泰：不。不用这种激烈的措施，我们也能避免悖论。 苏：你说这些措施是激烈的?泰：所以说它们是激烈的，是因为这些措施排除了自我涉及的一些很有意思的用法，特别是哥德尔构造自我涉及陈述的方法，这种方法在我本人感兴趣的领域即数论中有极为重要的应用。此外，所以说它们是激烈的，还因为我们从塔尔斯基那里知道，在任何一致的语言——让我们把它叫做“L”——之中，谓词“在L中真”和“在L中假”不会出现(和可能会出现的“在L中有意义”和“在L中无意义”相反)，还知道，如果没有像这样的谓词，就不可能表述爱庇梅尼德斯式悖论或者格雷林的他谓形容词悖论。这个启示证明足以构造避免这些悖论的形式化语言。 苏：这些数学家都是谁?泰奥多鲁斯从未提到过他们的名字。 泰：苏格拉底，他们都是非希腊人。但他们很能干。就我们现在的讨论而言，哥德尔的所谓“算术化方法”特别有意义。 苏：又是自我涉及，而且它十分普通。我对这些东西现在有点 过于敏感了。 泰：人们可能会说，哥德尔的方法是把某些非算术断定转换成算术断定；可以说它们转换成了一种算术代码；在能够这样编码的断定中，恰巧也包括你开玩笑地说成是我的定理的那个断定。更确切些说，那个能够转换成哥德尔算术代码的断定是自我涉及的陈述即“这个表达式是个合式公式”；当然这里“合式公式”取代了“有意义的”这个词。你记得，你认为我对我的定理不可能被否证这点过于有信心。我的理由简单说来就是，当我的定理转换成哥德尔代码时，它就成为一个算术定理。它是可加以证明的，它的否定则是可以反驳的。现在，如果有人成功地用一个正确论证(或许用一个和你自己的证明相似的论证)否证了我的定理，例如，从我的定理的否定是假的这个假设推出一个谬误，那么，这个论证也能用以表明相应的算术定理也被否证了；而因为这马上会提供给我们一个证明“0=1”的方法，所以我认为，我有充分理由相信我的定理是不可能否证的。 苏：你能避开技术细节解释哥德尔的编码方法吗? 泰：没有必要进行解释，因为以前已有人做过这个工作。我不是指现在即我们这次短短对话的假想的戏剧性日子(它约在公元前400年)之前，而是指我们的对话由它的作者编造出来以前，而这编造之后又过去了二千三百五十年。 苏：泰阿泰德，我为你这些最新的自我涉及感到震惊。你说起话来，好像我们是在背台词的演员。这是个把戏，我恐怕有些剧作家认为它是机智的，但他们的受骗者可不会这样认为；不管怎样，我就不会这样认为。但是，比任何这种自我涉及的玩笑更糟糕的，是你的这种愚蠢的，不，这种胡言乱语的年代排列。泰阿泰德，说正经的，我必须在某处划一条界线，而且我就在这里划。 泰：苏格拉底，干吧!谁会注意年代排列呢?思想是没有时间性的。 苏：泰阿泰德，小心形而上学啊!
[1] 首次发表在《精神》，1954年，第63卷。
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